Gewinnt immer die Bank?
Strategische Mathematik oder doch nur einfaches Glück?
Aufbau vom europäischen Roulette:
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Zahlen 1 bis 36 in Farben rot und schwarz
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Zahl 0 (en Prison) grün
Verschiedene Spiele:
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Rouge/Noir (Gewinn 2x Einsatz)
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Pair/Impair (Gewinn 2x Einsatz)
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Manque/Passe (Gewinn 2x Einsatz)
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einfaches Farbenspiel (Gewinn 36x Einsatz)
Wie rechne ich mir den durchschnittlichen Verlust bzw. Gewinn pro Spiel aus?
Mit dem Erwartungswert:
=die Summe aller möglichen Ereignisse multipliziert mit deren Wahrscheinlichkeit
z.B: E(x)= \frac {2}{5} * 1 + \frac {3}{5} * (-1) = \frac {-1}{5} = -0,20
Verlust von 20c pro Spiel bei 1-4
Macht es einen Unterschied immer auf "Gerade" oder "Ungerade" zu setzen?
Nein, da "Gerade" die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt wie "Ungerade".
Arithmetische Progress
eine Zahlenfolge
4, 9, 14, ... 29, 34,...
5, 11, 17, 23, ..., 35, 41, ...
7, 20, 33, 46, ..., 72, 85, ...
50,33,16, ..., -35, -52, ...
Ausgangssituation
-
nach jedem Spiel setzten wir um einen Euro mehr
-
wir starten mit einem Euro
B... Budget
n... Anzahl der Spiele
Beispiel:
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
1
2
3
4
5
6
7
x
x = 8
Formel:
x = \frac {n*(n+1)} {2}
Herleitung:
1,2,3,4, ... (n-3),(n-2),(n-1), n
Mitte
\frac {n}{2}
n+1
x=
\color {red} \frac {n}{2}
*
\color {limegreen} (n+1)
Die Martingalestrategie
Die Martingalstrategie verdoppelt den Einsatz nach jeder verlorenen Wette, um mit dem ersten Gewinn alle Verluste auszugleichen.
Gewinnchancen
Mit unbegrenztem Kapital führt die Martingalstrategie sicher zum Gewinn
die Gewinnchance beträgt dann 100 %.
Warum?
Beispielsweise verlieren wir 4 Runden und gewinnen die 5-te
1+2+4+8+16 16 gewonnen
15 verloren
1 Euro Profit
Die Formel zur Ausrechnung des verbrauchten Budgets, um nnn-mal zu spielen, ist:
Bn=E0⋅(2n−1)B_n = E_0 \cdot (2^n - 1)
En=E0⋅2n−1E_n = E_0 \cdot 2^{n-1
Die Formel zur Ausrechnung, wie viel wir für das n-te Spiel brauchen, ist:
Formeln
Abgewandelte Martingalstrategie
Der Einsatz wird nach jeder Runde verdreifacht
2 3
Gesamter Einsatz = [(3^n)-1]/(3-1)
Einsatz wird nach jeder Runde mit k multipliziert
2 b
Gesamter Einsatz =
| Runden n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | n |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Einsatz in Runde | 1 | 4 | 16 | 64 | 256 | |
| Gesamter Einsatz | 1 | 5 | 21 | 85 | 341 | |
| Möglicher Gewinn | 2 | 8 | 32 | 128 | 512 |
Beispiel: k=4
Das Setzen auf Zahlen
Anstatt des Pair/Impair-Spiels kann man auch auf eine beliebige Zahl setzen z.B.: 1
Gewinn = 36*Einsatz
Um den selben Effekt wie bei der Martingalstrategie zu erzielen muss der Einsatz nicht mehr verdoppelt werden
Bisheriger gesamter Einsatz < Möglicher Gewinn diese Runde
Bisheriger Einsatz
Möglicher Gewinn
Der Einsatz muss nur mehr mit 1.02857 multipliziert werden, um einen Gewinn erwarten zu können
En Prison Regel
Wird die Zahl 0 gerollt, gilt der Einsatz als En Prison. Das bedeutet, dass erneut gedreht wird. Trifft das gesetzte Ereignis jetzt ein so erhält man den Einsatzt nur einfach zurück.
Das faire Roulette
In diesem fairen Roulette wird nur die Null entfernt. Dadurch haben Bank und Spieler die selben Gewinnchancen.
Statt 18/37 1/2
Weitere Setzstrategien
Setzen des gesammten bisherigen Einsatzes
Bei dieser Strategie erwartet man keinen Gewinn, aber eine 0 am Ende
Verhundertfachen des letzten Einsatzes
Bei dieser Strategie gibt es wieder die Möglichkeit einen Gewinn zu erwarten
Bisheriger gesammter Einsatz = Möglicher Gewinn diese Runde
Bisheriger gesammter Einsatz < Möglicher Gewinn diese Runde
SPORTWETTEN
„Sportwetten sind Glücksspiele, bei denen man
Geld auf den Ausgang von Sportereignissen setzt.
Dabei besteht immer das Risiko, Geld zu verlieren.“
SUREBETS/ARBITRAGE
geschicktes Setzen auf alle möglichen Ausgänge eines Sportereignisses bei verschiedenen Buchmachern
Typische Quoten
SUREBET berechnen
(1/Quote 1)+(1/Quote 2)+...<1
Ist die Summe kleiner als 1, so liegt eine Surebet vor
EINSÄTZE berechnen
(1/Surebet)*(Gesamteinsatz/jew. Quote)
Gesamteinsatz = gesamtes Budget, welches auf die verschiedenen Quoten gesetzt wird
BEISPIEL
Quote
A: 8,00
B: 5,30
C: 1,50
Einsatz: 100€
(1/8,00)+(1/5,30)+(1/1,50)=0,981
Da 0,981<1, ist es eine funktionierende Surebet
EINSÄTZE
A:(1/0,981)*(100/8,00)≈12,75€
B:(1/0,981)*(100/5,30)≈19,25€
C:(1/0,981)*(100/1,50)≈68,00€
Mit einem Budget von 100€ und folgenden Einsätzen kann ohne Verlust gewettet werden.
SANKT PETERSBURG PARADOX
Text
berühmtes mathematisches Gedankenexperiment
Spiel:
Es wird eine Münze so lange geworfen, bis zum ersten Mal „Zahl“ erscheint.
Bei erstem Erscheinen von „Zahl“ im kk-ten Wurf erhält der Spieler den dazugehörigen Gewinn.
1,2,4,8,16,32,64
1 2 3 4 5 6
Gewinn
Anzahl der würfe
Mathematisches Modell
Für den k-ten Münzwurf
G=2^k
P=(1/2)^k
Warscheinlichkeit
Gewinn
Erwartung vom Paradox
E(X)=∑(1/2)^k*2^k=
∞
k=1
Gewinn(G)
Warscheinlichkeit(P)
∞
Trotz undendlichem Erwartungswert würde keiner viel Geld dafür bezahlen.
Gibt es noch Fragen?
Gewinnt immer die Bank?
By eli3
